PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

            Sea  

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

                     

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.

 

Ejemplo 2.

 Sea      

La transpuesta de A  es 
 



     

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea            con      

Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

           con    

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea           entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.

Ejemplo 5.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

                                                

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

      

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A,  entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

  

                     

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

       

Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es

                                              

Ejemplo 7.

Sean           y           

con       y     

 El producto     

Y su determinante  es    

Entonces     .

Propiedad 8.

El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)

Ejemplo 8.

I =                   det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad  9.

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)

Ejemplo 9.

J =           |J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.