MATEMATICAS: 2013

DETERMINATE : METODO DE COFACTORES

Definición.

Sea A una matriz cuadrada. El menor del elemento a_ij se denota como M_ij y es el determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j de A.
El cofactor de a_ij se denota como A_ij y está dado por

Evalúe el determinante de la siguiente matriz

Solución:

Regla de Sarrus para un determinante

Existe otro método para calcular determinantes de 3 x 3. Se escribe el determinante en cuestión y se le adjuntan sus dos primeras columnas:

CLASES DE MATRICES

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices

MATRIZ NULA:
recibe este nombre debido a que esta conformada por todos ceros como elementos.

matriz nula ejemplo

MATRIZ IDENTIDAD:
en ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales a 1.
matriz identidad ejemplo

Traspuesta de una matriz:

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T. Así, la traspuesta de

Así, la traspuesta de

Matriz diagonal:

Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:

Matriz fila:

si sólo tiene una fila, es decir

Matriz triangular superior:

Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:

Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:

METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES

Método de reducción

Procedimiento a seguir:

1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan con su respectivo signo, ya sea positivo o negativo.

2.- Sumamos algebraicamente y desaparece una de las incógnitas.

3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.

4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve a fin de determinar la incógnita faltante.

5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de REDUCCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:

Lo más sencillo es suprimir la variable y, ya que en la primera ecuación existe la misma cantidad que en la segunda ecuación y con signos contrarios para efectuar directamente el paso 2 el cual corresponde a la suma algebraica, y de este modo se obviaría el paso 1 que sería la preparación de las ecuaciones. Pero en este caso optaremos por suprimir la x para efectuar todo el procedimiento a seguir.

Paso Nº 01: Preparamos las dos ecuaciones, por lo general lo más idóneo es multiplicar la ecuación 1 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 2, y multiplicar la ecuación 2 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 1 con el signo necesario para lograr la anulación de la variable que se quiere. Para el caso de este ejercicio en particular podemos multiplicar la ecuación 1 por 2 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 2, y multiplicamos la ecuación 2 por 3 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 1, y como en las dos ecuaciones la variable tiene el mismo signo (positivo) multiplicamos una de las dos ecuaciones por signo negativo (-) a fin de lograr la anulación de la variable.

Paso Nº 02: Efectuamos la suma algebraica de ambas ecuaciones.

Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación resultante y se despeja la incógnita.

Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales.
3x – 4y = –6, sustituyendo y = 3 nos queda;

3x – 4(3) = –6 → 3x = –6 + 12 → x = 2.

Nota: Los valores obtenidos se sustituyen en las ecuaciones iniciales dadas en el ejercicio, más no en las alteradas para desarrollar el método de reducción.

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Una manera de comprobar que los valores obtenidos como solución al aplicar el método es sustituyendo los mismos en la ecuación y el resultado debe ser cero.

3x – 4y = –6, sustituyendo las soluciones del sistema queda:

3(2) – 4(3) = –6 → 6 – 12 = –6 → –6 = –6 ok

METODO DE SUSTITUCIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita (esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas), si el sistema posee mas de dos incógnitas se va despejando una incógnita diferente por ecuación y luego se va sustituyendo sucesivamente a fin de que la ecuación final posea una sola incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.

4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparece la incógnita despejada.

5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de SUSTITUCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:

Paso Nº 01: Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a despejarse la incógnita que tenga coeficiente numérico mas bajo, mas sin embargo es una opinión y este criterio no es limitativo.

En nuestro caso se decidió despejar de la segunda ecuación (2x + 4y = 16) la variable x, quedando de la siguiente manera:

Paso Nº 02: Sustituimos en la otra ecuación que conforma el sistema, la variable x por el valor obtenido del paso Nº 01 (x = 8 – 2y).

3x – 4y = –6 → 3(8 – 2y) – 4y = –6 → 24 – 6y – 4y = –6 → 24 – 10y = –6

Paso Nº 03: Resolvemos la ecuación obtenida a fin de despejar la incógnita.

Paso Nº 04: Sustituimos el valor obtenido (Paso Nº 03) en la variable despejada (Paso Nº 01).

x = 8 – 2y; con y = 3 implica que: x = 8 – 2(3) → x = 8 – 6 → x = 2

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;

3x – 4y = –6 → 3(2) – 4 (3) = –6 → 6 – 12 = – 6 → – 6 = – 6 ok.

METODO DE IGUALACIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (en caso de ser un sistema con dos ecuaciones).

2.- Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación a fin de conocer la incógnita.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de IGUALACIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:
Paso Nº 01: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso despejaremos la variable x.

Paso Nº 02: Se igualan ambas expresiones despejadas (obtenidas en el paso Nº 01).

Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación a fin de obtener la incógnita.

Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despejadas en el paso Nº 01 a fin de conocer la incógnita restante.

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;

3x – 4y = –6 → 3(2) – 4 (3) = –6 → 6 – 12 = – 6 → – 6 = – 6 ok.

TIPOS DE FORMAS PROPOCIONALES

Tautología,
es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.

Contradicción
es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad

contingencia
es aquella proposicion que en los valores hay verdadera y falsa

PRODUCTO POR ESCALAR

PRODUCTO POR ESCALAR

Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese escalar.
Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz.

Sea :

$5 \times \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \times (1) & 5\times (4) \\ 5\times (3) & 5\times (2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 20 \\ 15 & 10 \end{bmatrix}$

PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES

Propiedad 1.

Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

Sea

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

Propiedad 2.

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.

Ejemplo 2.

Sea

La transpuesta de A es

Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.

Sea con

Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda

con

Propiedad 4.

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea entonces

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.

Ejemplo 5.

Sea cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es

Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.