RECTA EN UN PLANO CARTESIANO

Ecuación general de la recta

Es la expresión Ax + By + C = 0 , donde A y B no pueden valer cero simultáneamente.
-A/B representa la pendiente y -C/B señala la ordenada en el origen. Datos suficientes para representar la ecuación en el plano cartesiano XOY.

Ecuación de la recta

En un plano cartesiano , podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Pendiente y ordenada al origen

En una recta, lapendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

TRIANGULOS

 

TRIANGULOS

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

	Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
	Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales
	Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?

Elementos notables de un triángulo

Mediana

Medianas de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama
Algunas propiedades de las medianas son:

• Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.
• Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de areae  iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

• Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Mediatriz y circunferencia circunscrita

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatricez , una por cada uno de sus lados , y .
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunsferencia cincruscrita  al triángulo, y su centro se denomina circucentro.

• En un triangulo acutangulo , el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
• En untriangulo obtusango , el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
• En un triangulo rectangulo , el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Bisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita  del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exicentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencia tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

La distancia desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de un punto  es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi, en un triángulo rectangulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas Estas 3 alturas se cortan en un punto único (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.

Propiedades

• Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
• Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 


Encontrar la solución de una inecuación es determinar el conjunto de valores que satisfacen a la desigualdad. Cuando se tiene una inecuación con valor absoluto la solución esta dada por la intersección, cuando el símbolo de desigualdad es “<” y será unión cuando el signo de desigualdad es “>”.

Ahora cuando se tiene dos valores absoluto en una misma inecuación, se debe estudiar el comportamiento de la ecuación que tiene el valor absoluto. Luego plantear tantas inecuaciones como condiciones se presentan al desarrollar el valor absoluto. A continuación se detalla una inecuación con dos valores absoluto, las diferentes condiciones, y los conjuntos que se obtienen. Para luego encontrar la solución definitiva con la unión de los conjuntos.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ecuación con Valor Absoluto y su resolución

Una ecuación con valor absoluto se resuelve planteando dos ecuaciones resultantes de aplicar la definición de valor absoluto, el conjunto solución será un conjunto formado por dos elementos que satisfacen a la ecuación

¿Cómo resolver una ecuación con Valor Absoluto?

Resolver una ecuación es encontrar un valor numérico que permita cumplir la igualdad. Cuando esta definición se suma con la definición de valor absoluto, se tendrán entonces dos valores que cumplan con ambas definiciones: Valor Absoluto: siempre valor positivo; ecuación: cumplir con la igualdad.

Los Objetivos de este artículo:

1) Mostrar como resolver una ecuación sencilla con valor absoluto

2) Como representar la solución, dos formas. Una analítica y otra en forma de conjunto.

Observa ahora la siguiente imagen, estudia el procedimiento.

ESTADISTICA

ESTADISTICA

La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional .

Sin embargo, la estadística es más que eso, es decir, es la herramienta fundamental que permite llevar a cabo el proceso relacionado con lainvestigacion cientifica.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

• La estadistica descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parametros estadisticos son: la media  y la desviacioes estanadar . Algunos ejemplos gráficos son:histograma, piramide.

ESTADISTICA INFERENCIAL 

• La estadistica inferencial , se dedica a la generación de los modelos , inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad  de las observaciones. Se usa para modelar  patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la poblacion  bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no prueba de hipotesis estimaciones de unas características numéricas (estimacion), pronostico de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlacion) o modelamiento de relaciones entre variables (analisis de regresion ). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo  y mineria de datos.

FUNCION

FUNCIÓN

DEFINICIÓN

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

En matematicas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el area A de un circulo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cadrado del radio, A = π·r².

−2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,   +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ... 

No estamos en presencia de una función cuando:

• De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
• De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

En analisis matematico, una funcion   es inyectiva si a elementos distintos del conjunto  les corresponden elementos distintos en el conjunto   de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por  no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función  entonces sí se obtiene una función inyectiva.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

En matematica, una funcion   es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

FUNCIÓN BIYECTIVA

En matematica, una funcion es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada , y a cada elemento del conjunto de llegada le correspondiente  un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

VALOR ABSOLUTO

 VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen. 

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. 
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.

EJEMPLO:

Hay dos posibilidades: x − 4 = 3  o bien x − 4 = −3. 
Las soluciones de ellas son 7 y 1.
Veamos:
x − 4 = 3 
x = 3 + 4
x = 7
o bien
x − 4 = −3
x = −3 + 4

x = 1