TRIANGULOS

 

TRIANGULOS

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

	Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
	Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales
	Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:

Triángulo isósceles rectángulo Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales ¿Adivinas cuánto miden?

Elementos notables de un triángulo

Mediana

Medianas de un triángulo.

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto de un triángulo se llama
Algunas propiedades de las medianas son:

• Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.
• Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de areae  iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

• Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Mediatriz y circunferencia circunscrita

Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatricez , una por cada uno de sus lados , y .
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro y radio que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunsferencia cincruscrita  al triángulo, y su centro se denomina circucentro.

• En un triangulo acutangulo , el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
• En untriangulo obtusango , el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
• En un triangulo rectangulo , el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Bisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita  del triángulo es la única circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exicentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencia tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

La distancia desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de un punto  es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi, en un triángulo rectangulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Alturas y ortocentro

Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas Estas 3 alturas se cortan en un punto único (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.

Propiedades

• Un triángulo es rectángulo si y sólo si su ortocentro es el vértice recto del triángulo.
• Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
• Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.